典型例题1
如上图,E是正方形ABCD的边CD的中点,F是EC的中点,求证:∠FAB=2∠DAE。
【思路分析】
要证∠FAB=2∠DAE,可作∠FAB的一半,利用正方形的性质可得等腰三角形,再证明全等即可。
【答案解析】
证明:如上图,作∠FAB的平分线,交BC于点H,交DC的延长线于点G。
∵AB//DC
∴∠1=∠2=∠G
∴FA=FG
设正方形的边长为a
则AF2=AD2+DF2=a2+(0.75a)2
解得FG=AF=1.25a
∴CG=FG-CF=1.25a-0.25a=a=AB
∵AB=GC,∠2=∠G,∠AHB=∠GHC
∴△ABH≌△GCH
∴BH=CH=0.5BC=0.5CD=DE
∵AD=AB,∠D=∠B=90°,BH=DE
∴△ADE≌△ABH
∴∠3=∠2
∴∠FAB=2∠DAE
典型例题2
如上图,△ABC是等腰锐角三角形,AB=AC,BD是腰AC上的高,求证:∠BAC=2∠DBC。
【答案解析】
证明:如上图,过点A作AE⊥BC于点E。
则∠EAC+∠C=90°
∵BD⊥AC
∴∠DBC+∠C=90°
∴∠DBC=∠EAC
∵AB=AC,AE⊥BC
∴∠BAC=2∠EAC=2∠DBC